INTEGRAL DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ~ Rapunzel

hay,,

udah dua tahun gue ga pernah peduli sama yang namanya blog, tapi sekarang gue mau mulai aktif lagi.

oke, hari ini hari pertama mulai kulliah setelah minggu kemaren mengadakan banyak kontrak kuliah denngan berbagai dosen dan bermacam mata kuliah.

semester 2 ini gue ngambila 24 sks, kebetulan gue bisa ngambil sks paling maksimal berkat hasil IP semester sebelumnya (y).

dan..mata kuliah pertama setiap minggunya adalah kalkulus II dengan jadwal setiap senin 3 sks mulai pukul 10.30-13.00 WITA, dengan bapak mahfudz sebagai dosen pertama pra-mid.

hmmm.. hari pertama kuliah dimulai dengan pemanasan yang menegangkan. yeph, sarapan beberapa soal yang terkesan rumit, tapi ternyata gampang. Fifit temen gue jadi pembuka mengunyah soal-soal tersebut, pertama sih masih gampang, tapi tengah-tengah gaaannnnnnn,,, hampir killer. Tapi ga apa apa itu baik bagi kami kok.

Hasil kuliah hari ini dapet ilmu lebih banyak dan lebih baik tentang integral, serta dapat pelajaran baru tentang persamaan differensial.

ya ! jadi topik hari ini itu INTEGRAL DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

ATURAN DASAR INTEGRAL

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!$
$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$
$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$
$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\!$
$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$
$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

Integral dari fungsi-fungsi sederhana

Fungsi rasional

$\int \,{\rm d}x = x + C$
$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1$
$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$
$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

Fungsi irrasional

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$
$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$
$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

Logaritma

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$
$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Fungsi eksponensial

$\int e^x\,dx = e^x + C$
$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Fungsi trigonometri

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$
$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$
$\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C$
$\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C$
$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$
$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$
$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$
$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$
$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$
$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$
$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$
$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$
$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

Fungsi hiperbolik

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$
$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$
$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$
$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$
$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$
$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

Fungsi inversi hiperbolik

$\int \operatorname{arsinh} x \, dx = x \operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$
$\int \operatorname{arcosh} x \, dx = x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$
$\int \operatorname{artanh} x \, dx = x \operatorname{artanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$
$\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x \operatorname{arcsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x \operatorname{arsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arcoth} \, dx = x \operatorname{arcoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan rumus:

$m={\mbox{perubahan } y \over \mbox{perubahan } x} = {\Delta y \over{\Delta x}},$

di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena

y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.
Diikuti pula Δy = m Δx.
Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.